Question

3．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=$\frac{1}{2}$CD，
（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；
（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求$\frac{DN}{NP}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，设CD=2，求得D，P，B，Q的坐标，求出$\overrightarrow{BQ}$及平面PDB的一个法向量由$\overrightarrow{BQ}$与平面法向量所成角的余弦值的绝对值可得sinθ的值；
（2）求出M的坐标，设N（0，0，y），且$\frac{DN}{NP}$=λ（λ≥0），则由$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{NP}$，得y=$\frac{λ}{1+λ}$．可得N的坐标，再求出平面PBC的一个法向量，由$\overrightarrow{MN}$与平面PBC的法向量的数量积为0求得λ值．

解答 解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，
又ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥DC，
分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
∵AB=AD=PD=QC=$\frac{1}{2}$CD，设CD=2，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），Q（0，2，1），
$\overrightarrow{BQ}=（-1，1，1）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$．
设平面PDB的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}=（-1，1，0）$．
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BQ}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BQ}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{BQ}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）∵M为AD的中点，∴M（$\frac{1}{2}$，0，0），设N（0，0，y），且$\frac{DN}{NP}$=λ（λ≥0），
则由$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{NP}$，得（0，0，y）=（0，0，λ-λy），∴y=$\frac{λ}{1+λ}$．
∴N（0，0，$\frac{λ}{1+λ}$），则$\overrightarrow{MN}=（-\frac{1}{2}，0，\frac{λ}{1+λ}）$，
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，2）$，
由MN∥面PBC，得$\overrightarrow{MN}•$$\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}+\frac{2λ}{1+λ}=0$，解得$λ=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DN}{NP}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面角，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．