Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a≠0），a_n+2=p•

an+12

an

（其中p为非零常数，n∈N^*）
（Ⅰ）证明：数列{

an+1

an

}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）当a=1，p≠±1时，令b_n=

nan+2

an

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n．
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当p=1时，c_n=2b_n，是否存在非零整数λ，使不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜

1

(1- 1 c1 )(1- 1 c2 )…(1- 1 cn ) cn+1

对一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a₁=1，a₂=a（a≠0），a_n+2=p•

an+12

an

（其中p为非零常数，n∈N^*），可得

an+2

an+1

=p•

an+1

an

，利用等比数列的通项公式可得

an+1

an

=a•p^n-1，
当n≥2时，利用“累乘求积”可得a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=a^n-1•p^n-2•p^n-3•…•p即可得出．
（II）b_n=

nan+2

an

=a²n•p^2n-1．当a=1，p≠±1时，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出；
（III）p=1时，由（II）可得：b_n=n．c_n=2b_n=2n．令T_n=(1-

1

c1

)(1-

1

c2

)•…•(1-

1

cn

)，利用放缩法可得：Tn•

cn+1

＜1，即

1

Tn• cn+1

＞1，假设存在非零整数λ，使不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜

1

(1- 1 c1 )(1- 1 c2 )…(1- 1 cn ) cn+1

对一切n∈N^*都成立，可得（-1）ⁿ⁺¹λ≤1，即可得出．

解答： （I）证明：∵a₁=1，a₂=a（a≠0），a_n+2=p•

an+12

an

（其中p为非零常数，n∈N^*），
∴

an+2

an+1

=p•

an+1

an

，
∴数列{

an+1

an

}是等比数列，公比为p，首项为

a2

a1

=a．
∴

an+1

an

=a•p^n-1，
∴当n≥2时，a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=a^n-1•p^n-2•p^n-3•…•p=a^n-1•p

(n-1)(n-2)

2

．
当n=1时也成立，
∴a_n=a^n-1•p

(n-1)(n-2)

2

．
（II）令b_n=

nan+2

an

=a²n•p^2n-1．当a=1，p≠±1时，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=a²（p+2×p³+3×p⁵+…+n×p^2n-1），
∴p²S_n=a²[p³+2×p⁵+…+（n-1）×p^2n-1+n×p²ⁿ⁺¹]，
∴（1-p²）S_n=a²（p+p³+p⁵+…+p^2n-1-n•p²ⁿ⁺¹）=a2(

p(p2n-1)

p2-1

-np2n+1)，
∴S_n=a²

1-(1+n-np2)p2n+1

(1-p2)2

．
（III）p=1时，由（II）可得：b_n=n．c_n=2b_n=2n．
令T_n=(1-

1

c1

)(1-

1

c2

)•…•(1-

1

cn

)
=(1-

1

2

)•(1-

1

4

)•…•(1-

1

2n

)
=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

2

3

×

4

5

×…×

2n

2n+1

=

2

1

×

4

3

×…×

2n

2n-1

×

1

2n+1

，
∴Tn＜

1

Tn

×

1

cn+1

，
∴Tn•

cn+1

＜1，
∴

1

Tn• cn+1

＞1，
假设存在非零整数λ，使不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜

1

(1- 1 c1 )(1- 1 c2 )…(1- 1 cn ) cn+1

对一切n∈N^*都成立，
则（-1）ⁿ⁺¹λ≤1，
∴±λ≤1，
取λ=1即可满足条件．

点评：本题考查了“累乘求积”、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、恒成立问题的等价转化方法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．