Question

在平面直角坐标系中，以圆点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=2acosθ+2asinθ（a＞0），直线l的参数方程为：

x=-1+ 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（l为参数），直线l与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设点P（-1，-2），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）利用极坐标公式把曲线C的极坐标方程化为普通方程，
消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到关于t的一元二次方程，
由△＞0，且|MN|²=|PM|•|PN|，结合根与系数的关系，求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=2acosθ+2asinθ（a＞0），
∴ρ²=2aρcosθ+2aρsinθ；
化为普通方程是x²+y²=2ax+2ay，
即C：（x-a）²+（y-a）²=2a²；
直线l的参数方程

x=-1+ 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（l为参数），
化为普通方程是y=-2+（x+1），
即y=x-1；
（Ⅱ）把直线l的参数方程

x=-1+ 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（l为参数）
代入C：x²+y²=2ax+2ay中，
化简得t²-3

2

t+5=-6a+2

2

at，
即t²-

2

（3+2a）t+5+6a=0；
∵△=[

2

(3+2a)]2-4（5+6a）＞0，且a＞0，
解得a＞

1

2

；
由根与系数的关系，得t₁+t₂=

2

（3+2a），t₁t₂=5+6a；
又∵|MN|²=|PM|•|PN|，
∴|t1-t2|2=t₁•t₂，
即(t1+t2)2=5t₁•t₂；
∴[

2

(3+2a)]2=5（5+6a），
整理，得8a²-6a-7=0，
解得a=

3+ 65

8

．

点评：本题考查了直线与圆的参数方程和极坐标的应用问题，解题时应熟练地进行参数方程、极坐标与普通方程的互化，理解直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．