Question

18．若关于x的不等式|2x+5|+|2x-1|-t≥0的解集为R．
（1）求实数t的最大值s；
（2）若正实数a，b满足4a+5b=s，求y=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{4}{3a+3b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式，即可求实数t的最大值s；
（2）若正实数a，b满足4a+5b=s，利用柯西不等式求y=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{4}{3a+3b}$的最小值．

解答 解：（1）因为|2x+5|+|2x-1|-t≥0，所以|2x+5|+|2x-1|≥t，
又因为|2x+5|+|2x-1|≥|2x+5-2x+1|=6，所以t≤6，
所以实数t的最大值s=6．
（2）$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{4}{3a+3b}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{4}{3a+3b}$）（4a+5b）
≥$\frac{1}{6}$$（\sqrt{\frac{1}{a+2b}}•\sqrt{a+2b}+\sqrt{\frac{4}{3a+3b}}•\sqrt{3a+3b}）^{2}$=$\frac{3}{2}$
当且仅当a=b=$\frac{2}{3}$时取等号，
所以y=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{4}{3a+3b}$的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，属于中档题．