Question

（本小题满分12分）已知函数，，直线与曲线切于点且与曲线切于点.

（1）求a，b的值和直线的方程；

（2）证明：除切点外，曲线、位于直线的两侧.

Answer 1

（1）a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第一问，先求出f(x)、g(x)，由题意可求出、、、，所以可得到的切线方程和的切线方程，而这两个切线是同一切线，即可得到a、b的值，即得到切线的方程；第二问，除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧，所以只需证明，且即可，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，求出最值，进行验证即可.

试题解析：（Ⅰ）f(x)＝aex＋2x，g(x)＝cosx＋b，

f(0)＝a，f(0)＝a，，，

曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，

曲线y＝g(x)在点(，))处的切线为y＝b(x－)＋1＋b，即y＝bx＋1．

依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sinx＋x． …5分

设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，则F(x)＝ex＋2x－1，

当x∈(－∞，0)时，F(x)＜F(0)＝0；

当x∈(0，＋∞)时，F(x)＞F(0)＝0．

F(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，

故F(x)≥F(0)＝0． …8分

设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sinx，则G(x)≥0，

当且仅当x＝2k＋（k∈Z）时等号成立． …10分

综上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)＞g(x)．

所以：除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧． …12分

考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.