Question

17．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x，x∈R．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？写出你的变换过程．

Answer 1

分析 （1）先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（ωx+Φ）+b的形式，即可得到答案．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∴由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[0，4]．
（2）由y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位可得函数y=sin2（x+$\frac{π}{12}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．
再把所得图象沿着y轴向上平移2个单位，可得函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2的图象．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．