Question

讨论直线l∶y＝kx＋1与双曲线C∶x²－y²＝1的公共点的个数．

Answer 1

答案：
解析：

解：联立直线与双曲线的方程消去y，得(1－k2)x2－2kx－2＝0． 　　当k＝±l时，x＝±1； 　　当k≠±1时，△＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2．由△＞0得－＜k＜；△＝0得k＝±；△＜0得k＞或k＜－． 　　故当k∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，l与C相离，没有公共点； 　　当k＝±时，l与C相切于一点； 　　当k＝±1时，l与C相交于一点； 　　当k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)时，l与C相交于两点． 　　分析：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应方程组有无实数解的问题． 　　点评：该题讨论了过定点(0，1)的直线系与等轴双曲线C的位置关系．分类讨论要层次分明，不重不漏．本题首先根据关于x的方程的二次项系数是否为零分两大类，当二次项系数非零时，又按判别式△分成三种情况．在下结论时，是根据公共点的个数分成三类的．同样是两个交点，但两个交点分别在双曲线的左、右支上或在一支上k的范围不同，大家画图验证一下，非常有益．