Question

已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点．

（1）求点P的坐标满足的条件；

（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．

 

Answer 1

（1）x+y+z=3．（2）

【解析】

试题分析：（1）通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；

（2）求出平面α与坐标轴的交点坐标，即可利用棱锥的体积公式求出所求几何体体积．

【解析】
（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，

由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，

即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．

（2）设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，

则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．

所以|MN|=|NH|=|MH|=3，

所以等边三角形MNH的面积为：=．

又|OA|=，故三棱锥0﹣MNH的体积为：=．