Question

16．如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求直线A₁D与平面AB₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AB₁，BA₁，交于点O，连结OD推导出OD∥A₁C，由此能证明A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，过A作DC的平行线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁D与平面AB₁D所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AB₁，BA₁，交于点O，连结OD，
∵D是BC中点，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
四边形ABB₁A₁是正方形，
∴O是A₁B的中点，∴OD∥A₁C，
∵OD?平面AB₁D，∴A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
解：（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，过A作DC的平行线为y轴，
AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（0，0，2），D（$\sqrt{3}，0，0$），A（0，0，0），
B₁（$\sqrt{3}$，-1，2），C（$\sqrt{3}$，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，-1，2$），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}，0，0$），
设平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=\sqrt{3}x-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设直线A₁D与平面AB₁D所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．
∴直线A₁D与平面AB₁D所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．