题目内容

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且与圆x²+y²=4相交的公共弦长等于 $数学公式$ ，则此抛物线的方程为________．

x²=±3y
分析：设出抛物线方程，利用抛物线与圆x²+y²=4相交的公共弦长等于 $\text{[math]}$ ，确定弦的端点的坐标，代入抛物线方程，可得结论．
解答：由题意，开口向上时，设抛物线方程为x²=2py（p＞0）
∵抛物线与圆x²+y²=4相交的公共弦长等于 $\text{[math]}$ ，
∴弦的端点的坐标为（± $\text{[math]}$ ，1）
代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x²=3y
同理可得开口向下时，设抛物线方程为x²=-2py（p＞0）
∵抛物线与圆x²+y²=4相交的公共弦长等于 $\text{[math]}$ ，
∴弦的端点的坐标为（± $\text{[math]}$ ，-1）
代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x²=-3y
故答案为：x²=±3y．
点评：本题考查抛物线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．