Question

设动直线l垂直x轴，且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1交于A、B两点，P是l上满足|PA|•|PB|=1的点，求P点的轨迹．

Answer 1

分析：先设点P的坐标为（x，y），依题意得：A（x，y₀），B（x，-y₀），由|PA|•|PB|=1得线段在坐标轴上的射影求出点的坐标的关系式，再结合椭圆的方程式即可求得P点的轨迹方程．

解答：解：设点P的坐标为（x，y），依题意得：A（x，y₀）B（x，-y₀）
由|PA|•|PB|=1得：|y-y₀|•|y+y₀|=|y²-y₀²|=1，即：y₀²=y²±1（6分）
代入

x2

4

+

y2

2

=1(-2＜x＜2)中得：

x2

4

+

y2

2

±

1

2

=1(-2＜x＜2)（10分）
也即：

x2

6

+

y2

3

=1(-2＜x＜2)及

x2

2

+y2=1(-2＜x＜2)
故P点的轨迹方程为：

x2

6

+

y2

3

=1及

x2

2

+y2=1（12分）
所以P点的轨迹是两椭圆夹在两直线x=±2之间的两部分弧长．（14分）

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质，求点的轨迹方程的方法，利用线段在坐标轴上的射影求出点的坐标的关系式是解题的关键．