题目内容
7．（文科做）已知函数f（x）=x-$\frac{2a}{x}$-（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．
分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．
解答 解：（1）∵f（x）=x-2lnx，∴f′（x）=$\frac{x-2}{x}$，
令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，
| x | 1 | （1，2） | 2 | （2，3） | 3 |
| f'（x） | - | 0 | + | ||
| f（x） | 1 | ↘ | 2-2ln2 | ↗ | 3-2ln3 |
∵f（3）-f（1）=2-2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），
函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2-2ln2；
（2）$f'（x）=1+\frac{2a}{x^2}-\frac{a+2}{x}=\frac{{{x^2}-（a+2）x+2a}}{x^2}=\frac{（x-2）（x-a）}{x^2}$，
①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；
②当a=2时，∵$f'（x）=\frac{{{{（x-2）}^2}}}{x^2}＞0（x≠2）$，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；
综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；
当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．
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