Question

19．已知函数f（x）=|x-a|+|x-2a|
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥a²-3a-3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）先用绝对值三角不等式将问题等价为：f（x）_min=|a||≥a²-3a-3，再分类讨论求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x-2|．
x≤1时，f（x）=-x+1-x+2=3-2x，由不等式f（x）＞2可得x＜$\frac{1}{2}$；
1＜x＜2时，f（x）=x-1-x+2=1由不等式f（x）＞2可得x∈∅；
x≥2时，f（x）=x-1+x-2=2x-3，由不等式f（x）＞2可得x＞$\frac{5}{2}$；
∴不等式f（x）＞2的解集为（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）因为不等式f（x）≥a²-3a-3对x∈R恒成立，
所以，f（x）_min≥a²-3a-3，
根据绝对值三角不等式，|x-a|+|x-2a|≥|（x-a）-（x-2a）|=|a|，
即f（x）_min=|a|，所以，|a||≥a²-3a-3，分类讨论如下：
①当a≥0时，a≥a²-3a-3，即a²-4a-3≤0，∴2-$\sqrt{7}$≤a≤2+$\sqrt{7}$，此时0≤a≤2+$\sqrt{7}$；
②当a＜0时，-a≥a²-3a-3，即a²-2a-3≤0，∴-1≤a≤3，此时-1≤a＜0．
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：[-1，2+$\sqrt{7}$]．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．