Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC⊥AB，且O，E分别为BC，AB的中点，H是SB的中点．
已知∠ABC=45°，AB=2，PA=PB=PC=

3

．
（1）求证：AB⊥PO；
（2）求三棱锥P-ACD的体积；
（3）求CH与平面POE所成角的正切值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用直线与平面垂直的定义，判定定理求解证明．（2）根据体积公式求解V=

1

3

×PO×S△ACD，
（3）根据位置关系求解出∠SOF即所求的线面角，在△SOF中求解即可．

解答： （1）证明：在△ABC中，
因为O，E分别是BC，AB的中点，
所以OE∥AC，
又因为AC⊥AB，所以OE⊥AB．
在△PAB中，
因为PA=PB，且点E是AB中点，
所以PE⊥AB，
又因为OE∩PE=E，
所以AB⊥平面POE，
又因为PO?平面POE，
所以AB⊥PO；
（2）解：因为在PCB中PC=PB，且O是BC中点，
所以PO⊥BC，
又因为AB⊥PO，BC∩AB=B，
所以PO⊥平面ABCD，
所以三棱锥P-ACD的高为PO，
V=

1

3

×PO×S△ACD=

1

3

×1×

1

2

×2×2=

2

3

；
（3）解：取HB中点F连接OF，
因为CH平行于OF所以OF与平面所成的角即CH与平面所成的角，
过F作FS平行于EB交PE于S点，
因为AB⊥平面POE，
又因为AB?平面PAB，
所以平面POE⊥平面PAB，
因为EB⊥PE又因为SF∥EB，
所以SF⊥平面OPE，
所以∠SOF即所求的线面角，在△SOF中 OS=

10

4

SF=

3

4

，
tan∠SOF=

3 10

10

．

点评：本题考察了空间呢直线平面的位置关系，体积面积，夹角等问题，属于中档题．