Question

7．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如表对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程，其中系数$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=7代入回归直线方程求出y的值即为当广告费支出7（百万元）时的销售额的估计值．

解答 解：（1）散点图如图所示

（2）$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=50，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=145，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1380，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{1380-5×5×50}{145-5×{5}^{2}}$=6.5，$\stackrel{∧}{a}$=50-6.5×5=17.5
故回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=6.5x+17.5；
（3）当x=7时，$\stackrel{∧}{y}$=6.5×7+17.5=63，
所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．