Question

10．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C-3cos（A+B）=1
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{6}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由内角和定理、诱导公式、二倍角余弦公式的变形化简已知的等式，求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值；
（2）方法1：由（1）和内角和定理表示出A、B的关系，由正弦定理求出a、b，代入a+b利用两角和差的正弦公式化简，由A的范围和正弦函数的性质求出a+b的范围，即可求出△ABC周长的最大值；
方法2：由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，代入数据结合完全平方公式化简，利用基本不等式求出a+b的最大值，即可求出△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）由cos2C-3cos（A+B）=1和A+B=π-C得，
2cos²C+3cosC-2=0，则（2cosC-1）（cosC+2）=0…（2分）
解得cosC=$\frac{1}{2}$或cosC=-2（舍去），…（4分）
因为0＜C＜π，所以C=$\frac{π}{3}$；               …（6分）
（2）方法1：由（1）得，A+B=$\frac{2π}{3}$，则B=$\frac{2π}{3}$-A，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}=2\sqrt{2}$，
则a=$2\sqrt{2}sinA$，b=$2\sqrt{2}sinB$，…（8分）
则a+b=$2\sqrt{2}sinA$+$2\sqrt{2}sinB$=$2\sqrt{2}sinA$+$2\sqrt{2}sin（\frac{2π}{3}-A）$
=$2\sqrt{2}sinA$+2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$）=$3\sqrt{2}sinA+\sqrt{6}cosA$
=$2\sqrt{6}sin（A+\frac{π}{6}）$          …（10分）
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
则$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，即a+b=$2\sqrt{6}sin（A+\frac{π}{6}）$≤$2\sqrt{6}$，
综上：a+b+c≤$3\sqrt{6}$，即△ABC周长的最大值是$3\sqrt{6}$．                …（12分）
法2：由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
则6=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab…（8分）
即6≥${（a+b）}^{2}-\frac{3}{4}（a+b）^{2}$=$\frac{1}{4}{（a+b）}^{2}$        …（10分）
解得（a+b）²≤24，则a+b≤$2\sqrt{6}$（当且仅当a=b=$\sqrt{6}$时取到等号）
综上：a+b+c≤$3\sqrt{6}$，即△ABC周长的最大值是$3\sqrt{6}$．                       …（12分）

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角恒等变换中公式，正弦函数的性质，以及基本不等式的应用，注意内角的范围，考查化简、变形能力．