Question

已知椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1，点E（1，1），椭圆上是否存在两个不重合的两点M，N，使

OE

=

1

2

（

OM

+

ON

）（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)便知E为MN的中点，并且容易判断出直线MN存在斜率，所以设MN的方程为y-1=k（x-1），联立椭圆的方程，便可得到关于x的方程：(

1

9

+

k2

4

)x2+

k(1-k)

2

x+

(1-k)2

4

-1=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理便可得到x1+x2=-

k(1-k) 2

1 9 + k2 4

=2，解出k即可．

解答： 解：由已知条件知E为MN的中点，并且直线MN存在斜率，设为k；
∴直线MN的方程为y-1=k（x-1），联立椭圆方程并消去y得：
(

1

9

+

k2

4

)x2+

k(1-k)

2

x+

(1-k)2

4

-1=0；
若设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理及E（1，1）为MN的中点得：
x1+x2=-

k(1-k) 2

1 9 + k2 4

=2，解得k=-

4

9

；
∴直线MN的方程为：y-1=-

4

9

(x-1)；
即：y=-

4

9

x+

13

9

．

点评：考查向量加法的平行四边形法则，椭圆的对称行，直线的点斜式方程，以及韦达定理，中点坐标公式．