Question

14．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，SB=SC．
（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；
（2）求证：SA⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AB∥CD，从而可证AB∥平面SCD，利用线面平行的性质即可证明l∥AB．
（2）连接AC，由已知利用余弦定理得AC=2，可证AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，通过证明BC⊥平面SAG，即可证明BC⊥SA．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）证明：∵底面ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB?平面SCD，CD?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，
∴l∥AB．…（6分）
（2）证明：连接AC，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，
由余弦定理得AC=2，
∴AC=AB，
 取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，
∵SG∩AG=G，
∴BC⊥平面SAG，
∴BC⊥SA…（12分）

点评 本题主要考查了线面平行的性质，线面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．