Question

19．设γ，θ为常数（θ∈（0，$\frac{π}{4}}$），γ∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}）}$），若sin（α+γ）+sin（γ-β）=sinθ（sinα-sinβ）+cosθ（cosα+cosβ）对一切α，β∈R恒成立，则$\frac{{tanθtanγ+cos（{θ-γ}）}}{{{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 选项结果是固定值，可以利用特殊值验证法，令α，β 分别取0和 $\frac{π}{2}$，再令 α，β 分别取 $\frac{π}{2}$ 和 0，化简可得 tanγ=cotθ，θ+γ=$\frac{π}{2}$，代入要求的式子，化简可得求得结果．

解答 解：令 α=0，β=$\frac{π}{2}$可得   sinγ-cosγ=-sinθ+cosθ  ①，
令 α=$\frac{π}{2}$，β=0 可得   cosγ+sinγ=sinθ+cosθ  ②，
由①②可得 sinγ=cosθ，cosγ=sinθ，∴tanγ=cotθ，θ+γ=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{{tanθtanγ+cos（{θ-γ}）}}{{{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=$\frac{1+2sinθcosθ}{\frac{1-cos（2θ+\frac{π}{2}）}{2}}$=$\frac{2（1+sin2θ）}{1+sin2θ}$=2，
故选：A．

点评 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，求出两个角θ和γ之间的关系，即 tanγ=cotθ，θ+γ=$\frac{π}{2}$，是解题的关键．