Question

19．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设g（x）=（a-2）x，若?x∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数最小值，问题得以解决．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+x²-4x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-4，
∴k=f′（1）=1+2-4=-1，
f（1）=ln1+1-4=-3，
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y+3=-（x-1），即x+y+2=0，
（2）∵g（x）=（a-2）x，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x）≥g（x）成立，
∴alnx+x²-4x≥（a-2）x，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
∴a（x-lnx）≤x²-2x，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
设h（x）=x-lnx，
则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，h（x）单调递减，当1≤x≤e时，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=1＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
∴F′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（{x}^{2}-2x）（1-\frac{1}{x}）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴-1≤lnx≤1，
∴x-2lnx+2=x-lnx+2-lnx＞0，
当F′（x）＞0时，即1＜x≤e时，函数F（x）单调递增，
当F′（x）＜0时，即$\frac{1}{e}$≤x≤1时，函数F（x）单调递减，
∴F（x）_min=F（1）=-1，
∴a≤-1，
故实数a的取值范围为（-∞，-1]．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，属中档题