Question

11．设F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂有公共焦点F₁、F₂，（F₁、F₂分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点M，离心率分别为e₁和e₂，线段MF₁的垂直平分线过F₂，则$\frac{{{e_2}-{e_1}}}{{{e_1}{e_2}}}$的值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 设双曲线C₂的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂，b₂＞0）．a₁=a．由题意可知：F₁F₂=F₂M=2c，由定义可得：F₁M+F₂M=2a₁，F₁M-F₂M=2a₂，可得：a₁-a₂=2c，于是$\frac{{a}_{1}}{c}-\frac{{a}_{2}}{c}$=2，即可得出．

解答 解：设双曲线C₂的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂，b₂＞0）．a₁=a．
由题意可知：F₁F₂=F₂M=2c，
又∵F₁M+F₂M=2a₁，F₁M-F₂M=2a₂，
∴F₁M+2c=2a₁，F₁M-2c=2a₂，
两式相减，可得：a₁-a₂=2c，
∴$\frac{{a}_{1}}{c}-\frac{{a}_{2}}{c}$=2，∴$\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．