Question

已知椭圆C的下顶点为B（0，-1），B到焦点的距离为2．
（Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；
（Ⅱ）直线l过定点P（0，2）与椭圆C交于两点M，N，若△BMN的面积为

6

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆的下顶点为B（0，-1）知b=1．由B到焦点的距离为2知a=2．可得椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．设Q（x，y），利用两点之间的距离公式及其椭圆的方程可得|BQ|=

-3(y- 1 3 )2+ 16 3

(-1≤y≤1)．再利用二次函数的单调性即可得出．
（II）由题设可知l的斜率必存在．由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2．与椭圆的方程联立可得（1+4k²）x²+16kx+12=0．由△＞0可得k2＞

3

4

．设
M（x₁y₁），N（x₂，y₂），
解法一：利用求根公式解出x₁，x₂，利用S△BMN=

1

2

|x1-x2|•|BP|=

6

5

，解出k即可．
解法二：|MN|=|x1-x2|

1+k2

，B到l的距离d=

3

1+k2

．利用S△BMN=

1

2

•|MN|•d=

3

2

|x1-x2|=

6

5

，解出k即可．

解答： 解：（I）由椭圆的下顶点为B（0，-1）知b=1．
由B到焦点的距离为2知a=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
设Q（x，y），|BQ|=

x2+(y+1)2

=

4(1-y2)+(y+1)2

=

-3(y- 1 3 )2+ 16 3

(-1≤y≤1)．
∴当y=

1

3

时，|BQ|max=

4 3

3

．
（II）由题设可知l的斜率必存在．
由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2．
联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

消去y得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
由△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0⇒k2＞

3

4

．（*）
设M（x₁y₁），N（x₂，y₂），则x1，2=

-16k±4 4k2-3

2(1+4k2)

．
解法一：S△BMN=

1

2

|x1-x2|•|BP|=

6 4k2-3

1+4k2

=

6

5

．
解法二：|MN|=|x1-x2|

1+k2

，B到l的距离d=

3

1+k2

．
S△BMN=

1

2

•|MN|•d=

3

2

|x1-x2|=

6 4k2-3

1+4k2

=

6

5

．
解得k²=1或k2=

19

4

均符合（*）式．
∴k=±1或k=±

19

2

．
所求l方程为±x-y+2=0与±

19

x-2y+4=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．