题目内容
一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为y1，y2且翻转前后的比例系数相同，都为同一正常数k）
（2）现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为d为多少时，可使安全负荷y最大？
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数模型的选择与应用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）安全负荷y1=k
（k为正常数），翻转90°后y2=k
，从而得
=
，从而讨论变化；
（2）如图，设截取的宽为a，厚度为d，则（
）2+d2=R2，即a2+4d2=4R2．从而得到y=
=
a（R2-（
）2）=
（4R2a-a3），（a∈（0，2R），k＞0）；再求导y′=-
（3a2-4R2）；确定函数的单调性与最值．
| ad2 |
| l2 |
| da2 |
| l2 |
| y1 |
| y2 |
| d |
| a |
（2）如图，设截取的宽为a，厚度为d，则（
| a |
| 2 |
| kad2 |
| 100 |
| k |
| 100 |
| a |
| 2 |
| k |
| 400 |
| k |
| 400 |
解答：
解：（1）安全负荷y1=k
（k为正常数），翻转90°后y2=k
，
∴
=
，
∴当0＜d＜a时，y1＜y2，安全负荷变大．
当0＜a＜d时，y2＜y1，安全负荷变小；
当a=d时，y2=y1，安全负荷不变．
（2）如图，设截取的宽为a，厚度为d，则（
）2+d2=R2，
即a2+4d2=4R2．
y=
=
a（R2-（
）2）=
（4R2a-a3），（a∈（0，2R），k＞0）；
y′=-
（3a2-4R2）；
令y′=0得：a=
R；
当a∈（0，
R）时，y′＞0，函数y在（0，
R）上为增函数；
当a∈（
R，2R）时，y′＜0函数y在（
R，2R）上为减函数；
当 a=
R时，安全负荷y最大，
此时厚度d=
R；
答：当问截取枕木的厚度为
R时，可使安全负荷最大．
解：（1）安全负荷y1=k| ad2 |
| l2 |
| da2 |
| l2 |
∴
| y1 |
| y2 |
| d |
| a |
∴当0＜d＜a时，y1＜y2，安全负荷变大．
当0＜a＜d时，y2＜y1，安全负荷变小；
当a=d时，y2=y1，安全负荷不变．
（2）如图，设截取的宽为a，厚度为d，则（
| a |
| 2 |
即a2+4d2=4R2．
y=
| kad2 |
| 100 |
| k |
| 100 |
| a |
| 2 |
| k |
| 400 |
y′=-
| k |
| 400 |
令y′=0得：a=
2
| ||
| 3 |
当a∈（0，
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
当a∈（
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
当 a=
2
| ||
| 3 |
此时厚度d=
| ||
| 3 |
答：当问截取枕木的厚度为
| ||
| 3 |
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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若函数f（x）=x2-2ax+2a在区间（-∞，4）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
| A、a≥4 | B、a≤4 |
| C、a≤5 | D、a=4 |
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于