Question

12．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B'C'D'，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．
（1）求证：平面BC'D∥面AB'D'；
（2）求证：平面C'CE⊥平面AB'D'．

Answer 1

分析 （1）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，由已知得AFC′E为平行四边形，通过线面平行证明平面BC′D∥面AB′D′．
（2）通过证明B'D'⊥平面C'CE，利用B'D'?平面AB'D'，证明平面C'CE⊥平面AB'D'．

解答 证明：（1）如图，取B'D'的中点为F，连结AF，C'F，AE．则AFC'E为平行四边形，∴AF∥C'E，
又AF?面AB'D'，C'E?平面AB'D'，∴C'E∥面AB'D'，
∵在三棱柱中，B'D'∥BD，BD?平面AB'D'，B'D'?平面AB'D'，
∴BD∥平面AB'D'，
∵BD∩C'E=E，BD、C'E?平面BC'D，
∴平面BC'D∥平面AB'D'．
（2）∵在正三角形BCD中，E是BD中点，
∴CE⊥BD
又在正棱柱中BD∥B'D'，CC'⊥平面B'C'D'，∴B'D'⊥CE，B'D'⊥CC'，
∵CC'∩CE=C，∴B'D'⊥平面C'CE，
∵B'D'?平面AB'D'，∴平面C'CE⊥平面AB'D'．

点评 本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．，属于中档题．