Question

7．某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2007年平均每台电脑的生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价，2008年开始，公司更新设备，加强管理，从而使成本逐年降低，预计2011年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价尽是2007年的80%，但却可以实现纯利润50%的高效益．
（1）求2011年每台电脑的生产成本；
（2）以2007年的生产成本为基数，求2007年至2011年生产成本每年降低的百分数（精确到0.01，$\sqrt{5}≈2.236，\sqrt{6}$≈2.449）

Answer 1

分析 第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；
第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器．

解答 解：（1）设2011年每台电脑的成本为p元，根据题意，得p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p=3 200（元）．故2011年每台电脑的生产成本为3 200元．
（2）设2007年至2011年间每年平均生产成本降低的百分率为x，
根据题意，得5000（1-x）⁴=3 200（0＜x＜1）．
令f（x）=5 000（1-x）⁴-3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表：

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
f（x）	1 800	-590	-2 000	-2 742	-3 072	-3 180	-3 200	-3 200

观察上表，可知f（0）•f（0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x₀．
取区间（0，0.15）的中点x₁=0.075，用计算器可算得f（0.075）≈460．
因为f（0.075）•f（0.15）＜0，所以x₀∈（0.075，0.15）．
再取（0.075，0.15）的中点x₂=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）≈-98．
因为f（0.075）•f（0.112 5）＜0，所以x₀∈（0.075，0.112 5）．
同理，可得x₀∈（0.009 375，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）．
由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，
此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，
所以原方程精确到0.01的近似解为0.11．
2007年至2011年生产成本平均每年降低的百分数为11%．

点评 本题主要考查建立函数模型的能力和用二分法来解函数模型方法．