Question

4．已知f（x）=x²-6x+5．
（Ⅰ）求$f（-\sqrt{2}），f（a）+f（3）$的值；
（Ⅱ）若x∈[2，6]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二次函数的解析式，直接求$f（-\sqrt{2}），f（a）+f（3）$的值；
（Ⅱ）解法一：利用配方法f（x）=x²-6x+5=（x-3）²-4，求出x-3整体的范围，然后求解函数的值域即可．
解法二：求出函数f（x）图象的对称轴利用函数的单调性求解函数的值域即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）$f（-\sqrt{2}）={（-\sqrt{2}）^2}-6（-\sqrt{2}）+5=7+6\sqrt{2}$（2分）f（a）+f（3）=（a²-6a+5）+（3²-6×3+5）=a²-6a+1（5分）
（Ⅱ）解法一：
因为f（x）=x²-6x+5=（x-3）²-4（7分）
又因为x∈[2，6]，所以-1≤x-3≤3，所以0≤（x-3）²≤9，（8分）
得-4≤（x-3）²-4≤5．（9分）
所以当x∈[2，6]时，f（x）的值域是[-4，5]．（10分）
解法二：
因为函数f（x）图象的对称轴$x=-\frac{-6}{2×1}=3∈[2，6]$，（6分）
所以函数f（x）在区间[2，3]是减函数，在区间[3，6]是增函数．（7分）
所以x∈[2，6]时，$f{（x）_{min}}=f（3）={3^2}-6×3+5=-4$．（8分）
又因为f（2）=2²-6×2+5=-3，f（6）=6²-6×6+5=5（9分）
所以当x∈[2，6]时f（x）的值域是[-4，5]．（10分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．