Question

若直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x-y=0对称，动点P（a，b）在不等式组

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域内部及边界上运动，则w=

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

A．[2，+∞）

B．（-∞，-2]

C．[-2，2]

D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

∵M，N是圆上两点，且M，N关于直线x-y=0对称，
∴直线x-y=0经过圆的圆心（-

k

2

，-

m

2

），且直线x-y=0与直线y=kx+1垂直．
∴k=m=-1．
∴约束条件为：

-x-y+2≥0 -x+y≤0 y≥0

根据约束条件画出可行域，
w=

b-2

a-1

，表示可行域内点Q和点P（1，2）连线的斜率的最值，
当Q点在原点O时，直线PQ的斜率为2，当Q点在可行域内的点B处时，直线PQ的斜率为-2，
结合直线PQ的位置可得，当点Q在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：
（-∞，-2]∪[2，+∞）
从而得到w的取值范围（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故选D．