Question

已知函数的导数满足，常数为方程的实数根．

⑴若函数的定义域为I，对任意，存在，使等式

=成立，求证：方程不存在异于的实数根；

⑵求证：当时，总有成立；

⑶对任意，若满足，求证．

Answer 1

证明：⑴用反证法，

设方程有异于的实根，即，不妨设，则

，在与之间必存在一点c，，

由题意使等式成立，   

因为，所以必有，但这与矛盾．

因此，如若也是方程的根，则必有，即方程不存在异于的实数根．

⑵令，

，

为增函数．

又当时，，即

⑶不妨设，为增函数，即

又函数为减函数．

即

即

∴．