Question

某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处．若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒．（不考虑水流速度等因素）
（1）请分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间．

Answer 1

分析：（1）分别求出救生员在两种情况下所用时间，通过比较两种情况所用的时间即可得到答案；
（2）设出C点到D点的距离，列出救生员从A点到B点所用的总时间，然后通过求导得到当C点到D点距离为多少时能使所用时间最短，同时求出了所用时间的最小值．

解答：解：（1）由图可知，A到B的距离为300

2

米．
从A处游向B处的时间t1=

300 2

2

=150

2

(s)，
而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处的时间t2=

300

6

+

300

2

=200(s)．
而150

2

＞200，所以救生员的选择是正确的；
（2）设CD=x，则AC=300-x，BC=

3002+x2

，
救生员从A经C到B的时间t=

300-x

6

+

3002+x2

2

，0≤x≤300
t′=-

1

6

+

x

2 90000+x2

，
令t^′=0，得-

1

6

+

x

2 90000+x2

=0，解得：x=75

2

，
又当0＜x＜75

2

时，t^′＜0；
当75

2

＜x＜300时，t^′＞0．
所以当x=75

2

时，函数t有极小值，也就是最小值．
为t(75

2

)=

300-75 2

6

+

3002+(75 2 )2

2

=50+100

2

（s）．
答：救生员自A点跑到距D点75

2

米处，然后下海直线游到B处所用时间最短为50+100

2

秒．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，训练了导数在最大值最小值中的应用，实际问题在建模时一定要注意应有实际意义，此题是中档题．