Question

9．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$cosωxcos（ωx+$\frac{π}{2}$）+2sin²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[{\frac{π}{3}，π}]$上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=-2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，利用函数f（x）的最小正周期为π，ω＞0，可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω即可，写出函数解析式，相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据（1）中函数的解析式，x∈$[{\frac{π}{3}，π}]$，通过正弦函数的图象和性质，求出函数的单调递增区间和单调递减区间，即可求得函数f（x）取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+1-cos2ωx           …（2分）
=-$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1
=-2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1                             …（4分）
∵函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1．                                            …（5分）
∴f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．     …（8分）
（Ⅱ）∵$\frac{π}{3}$≤x≤π，
∴f（x）在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]单调递增，在区间[$\frac{2π}{3}$，π]单调递减，…（10分）
f（$\frac{π}{3}$）=-2sin$\frac{5π}{6}$+1=0，f（$\frac{2π}{3}$）=-2sin$\frac{3π}{2}$+1=3，f（π）=-2sin$\frac{π}{6}$+1=0，
因此f（x）的取值范围为[0，3]．                            …（13分）

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的最值，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题．