Question

（09年湖北重点中学联考理）(13分)

已知二次函数为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若函数上是单调减函数，那么：

① 求k的取值范围；

② 是否存在区间[m，n]，使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：（1）∵f（x+1）为偶函数，∴

即恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a∴

∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，

∴二次方程有两相等实数根，

∴

                               　　　　　　（4分）

（2）①，

在上恒成立。

故k的取值范围为                                　　　　　　（7分）

②

                       　　　　　（9分）

即   　　　　　（11分）

∵m＜n

故当；

当k＞1时，；

当k=1时，[m，n]不存在．                                　　　　　（13分）