Question

2．设矩阵A=$（\begin{array}{l}{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}\end{array}）$，若矩阵X满足X-XA²-AX+AXA²=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

Answer 1

分析 由X-XA²-AX+AXA²=E，将其转化成（E-A）X（E-A²）=E，由丨E-A丨=1，丨E-A²丨=-1，E-A和E-A²可逆，分别求得其逆矩阵，X=（E-A）^-1（E-A²）^-1，即可求得X．

解答 解：X-XA²-AX+AXA²=E，
∴X（E-A²）-AX（E-A²）=E，
∴（E-A）X（E-A²）=E，
E-A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}\\{-1}&{1}&{1}\\{0}&{-1}&{1}\end{array}]$，E-A²=$[\begin{array}{l}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{-1}&{0}&{2}\end{array}]$，
丨E-A丨=1，丨E-A²丨=-1，
∴E-A和E-A²可逆，
（E-A）^-1=$\frac{1}{丨E-A丨}$（E-A）*=$[\begin{array}{l}{2}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{0}\end{array}]$，
（E-A²）^-1=$\frac{1}{丨E-{A}^{2}丨}$（E-A²）*=$[\begin{array}{l}{2}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{array}]$，
∴X=（E-A）^-1（E-A²）^-1=$[\begin{array}{l}{2}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{2}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}&{1}&{-2}\\{1}&{1}&{-1}\\{2}&{1}&{-1}\end{array}]$，
∴X=$[\begin{array}{l}{3}&{1}&{-2}\\{1}&{1}&{-1}\\{2}&{1}&{-1}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的变换，考查矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的方法，考查计算能力，属于中档题．