Question

6．已知函数f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，直线y=kx在函数y=f（x）的图象的下方，则实数k的取值范围（-∞，1]．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，通过讨论k的范围确定函数的单调性，从而求出k的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$]，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，∴1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，
当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当k≥${e}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）≤0⇒g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；            
当1＜k＜${e}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1-k＜0，g′（ $\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$-k＞0
由零点存在性定理，必存在一个零点x₀，使得g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x₀）上单调递减，
从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：k的取值范围为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．