Question

19．双曲线C与椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1有公共焦点，且C的一条渐近线方程为x+$\sqrt{3}$y=0，则C的方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．

Answer 1

分析 由题意方程求出其半焦距，得到双曲线是焦点在x轴上的双曲线，并得到双曲线的半焦距，再由双曲线的渐近线方程得到双曲线的实半轴长与虚半轴长的关系，结合隐含条件求得实半轴长与虚半轴长，则双曲线方程可求．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，得a²=9，b²=5，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=2$，
∴双曲线C的焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），
设双曲线的实半轴为a₁，虚半轴为b₁，
∵渐近线方程为x+$\sqrt{3}$y=0，即y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又c₁=c=2，且${{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}={{c}_{1}}^{2}$，
解得${{a}_{1}}^{2}=3，{{b}_{1}}^{2}=1$．
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，属中档题．