Question

8．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为2cm．

Answer 1

分析 设圆柱的底面半径为r，高为h，根据侧面展开图的周长得出r与h的关系，得出圆柱的体积关于半径的函数V（r），使用导数与函数的关系求出函数的极大值点，从而求出圆柱的高．

解答 解；设圆柱的底面半径为r，高为h，则2•（2πr+h）=12，
∴h=6-2πr．
∵h＞0，r＞0，
∴0＜r＜$\frac{3}{π}$．
∴圆柱的体积V（r）=πr²h=πr²（6-2πr）=6πr²-2π²r³．
∴V′（r）=12πr-6π²r²，
令V′（r）=0，解得r=$\frac{2}{π}$或r=0（舍）．
当0$＜r＜\frac{2}{π}$时，V′（r）＞0，当$\frac{2}{π}＜r＜\frac{3}{π}$时，V′（r）＜0，
∴当r=$\frac{2}{π}$时，圆柱体积最大，此时h=6-2πr=2．
故答案为2．

点评 本题考查了圆柱的结构特征，体积公式，函数的最大值，属于中档题．