Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=1，a_n+1+2S_n•S_n+1=0，则该数列的前2017项和S₂₀₁₇=$\frac{1}{4033}$．

Answer 1

分析 将a_n+1=S_n+1-S_n代入a_n+1+2S_n•S_n+1=0化简后，由等差数列的定义判断出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，由条件求出公差和首项，由等差数列的通项公式求出$\frac{1}{{S}_{n}}$，再求出S_n和S₂₀₁₇．

解答 解：∵a_n+1+2S_n•S_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+2S_n•S_n+1=0，
两边同时除以S_n•S_n+1得，$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=2$，
又a₁=1，∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为公差、1为首项的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，则S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴该数列的前2017项和S₂₀₁₇=$\frac{1}{2×2017-1}$=$\frac{1}{4033}$，
故答案为：$\frac{1}{4033}$．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式，数列的前n项和与通项之间关系的应用，考查化简、变形能力．