Question

7．若圆x²+y²=R²（R＞0）与曲线||x|-|y||=1的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则R=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得正多边形为正八边形，然后由已知通过解三角形求得答案．

解答 解：由||x|-|y||=1，得|x|-|y|=±1
即$\left\{\begin{array}{l}{x-y=±1（x≥0，y≥0）}\\{x+y=±1（x≥0，y＜0）}\\{-x+y=±1（x＜0，y＜0）}\\{-x-y=±1（x＜0，y≥0）}\end{array}\right.$，
作出图象如图，正多边形为正八边形，
在△AOB中，∠AOB=45°，AB=$\sqrt{2}$，
∴AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos45°，
即2=2R²-$\sqrt{2}{R}^{2}$，
∴${R}^{2}=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$，则R=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故答案为：$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．