Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²，在x=1时有极值，极值为3；
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，利用当x=1时，有极大值3，求出a，b的值；
（Ⅱ）求导数确定函数的单调性，即可求函数f（x）在[-1，2]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∵当x=1时，有极大值3，
∴f′（x）=0，f（1）=3，
∴3a+2b=0，a+b=3，
∴a=-6，b=9；
（Ⅱ）f′（x）=-18x²+18x=-18x（x-1），
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1，函数单调递增，f′（x）0，可得x＜0或x＞1，函数单调递减，
∴函数f（x）在[-1，0）上单调递增，（0，1）上单调递减，（1，2]上单调递增，
∵f（0）=0，f（2）=15，
∴函数f（x）在[-1，2]上的最大值是15．

点评 本题考查导数知识的应用，考查函数的极值与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．