Question

已知圆C：x²+y²-4x-6y+12=0，点A（3，5）．
（1）过点A作圆的切线，求切线的方程；
（2）过点A作圆的切线，切点为M，N，求过点A，M，N的圆的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）先看点A的直线斜率不存在时是否符合条件，进而看斜率存在时，设出直线的方程，利用相切的性质求得k，确定直线的方程．
（2）根据题意推断A，M，N，C四点共圆确定直径和圆心，则圆的方程可得．

解答： 解：（1）当过点A的直线斜率不存在时，直线方程为x=3满足条件   
当过点A的直线斜率存在时，设其为k，则
直线方程为：kx-y-3k+5=0，
又因为直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相切
所以

|k-2|

k2+1

=1，解之得：k=

3

4

，此时切线方程：3x-4y+11=0
故过点A圆C的切线方程为x=3或3x-4y+11=0．
（2）由题可知：A，M，N，C四点共圆
所以过点A，M，N的圆是以CA为直径的圆，
又C（2，3），A（3，5），所以所求圆的方程为：(x-

5

2

)2+(y-4)2=

5

4

．

点评：本题主要考查了圆的方程问题，直线与圆的位置关系．考查了学生分析和推理的能力．