题目内容

12．已知数列{an}满足：an+1＞2an-an-1（n＞1．n∈N*），给出下述命题：
①若数列{an}满足：a2＞a1，则an＞an-1（n＞1，n∈N*）成立；
②存在常数c，使得an＞c（n∈N*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则ap+aq＞am+an；
④存在常数d，使得an＞a1+（n-1）d（n∈N*）都成立
上述命题正确的个数为（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

分析 由an-1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），得an+1-an＞an-an-1（n＞1，n∈N*）或an-1-an＞an-an+1（n＞1，n∈N*）．然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．

解答 解：∵an+1＞2an-an-1（n＞1．n∈N*），
∴an+1-an＞an-an-1（n＞1，n∈N*）或an-1-an＞an-an+1（n＞1，n∈N*）．
∴数列函数{an}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，
或数列函数{an}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐减小．
对于①，若a2＞a1，则数列函数{an}为增函数，∴an＞an-1（n＞1，n∈N*）成立，命题正确；
对于②，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；
对于③，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；
对于④，若数列函数{an}为减函数，则命题错误．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对题意的理解，是中档题．

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