Question

11．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是正项的等比数列，且a₁=b₁=2，a₅=14，b₃=a₃．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}中满足b₄＜a_n＜b₆的各项的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意，可求得d与q，从而可求得{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）b₄＜a_n＜b₆，即2⁴＜3n-1＜2⁶，可求得n=6，7，8，…，21，于是满足b₄＜a_n＜b₆的各项的和为a₆+a₇+…+a₂₁=S₂₁-S₅=，利用等差数列的求和公式可得答案．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d．
因为a₁=2，a₅=14，
所以a₁+4d=14．
所以d=3．
所以a_n=3n-1．
所以b₃=a₃=8．
因为b₁=2，
因为${b_3}={b_1}{q^2}$，
所以q²=4．
因为b_n＞0，
所以q=2．
所以${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$．…（6分）
（Ⅱ）因为b₄＜a_n＜b₆，即2⁴＜3n-1＜2⁶，
所以$\frac{17}{3}＜n＜\frac{65}{3}$，n∈N^*．
即n=6，7，8，…，21．
所以满足b₄＜a_n＜b₆的各项的和为a₆+a₇+…+a₂₁=S₂₁-S₅=$\frac{{21（{a_1}+{a_{21}}）}}{2}-\frac{{5（{a_1}+{a_5}）}}{2}$=$\frac{21（2+62）}{2}-\frac{5（2+14）}{2}$=632．…（13分）

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，考查等差数列的求和的运用，属于中档题．