Question

有下列四个结论：
①函数f（x）=lg（x+1）+lg（x-1）的定义域是（1，+∞）
②若幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则该函数为偶函数
③函数y=5^|x|的值域是（0，+∞）
④函数f（x）=x+2^x在（-1，0）有且只有一个零点．
其中正确结论的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由对数的真数大于0，解不等式可得定义域，即可判断①；
由幂函数的定义和其偶性的判断，即可判断②；
运用指数函数的单调性，即可求得值域，进而判断③；
由零点存在定理，计算f（-1）f（0），即可判断④．

解答： 解：对于①，函数f（x）=lg（x+1）+lg（x-1），由x+1＞0，且x-1＞0，则x＞1，则①对；
对于②，若幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则有f（x）=x²，则为偶函数．则②对；
对于③，函数y=5^|x|的，由于|x|≥0，则y=5^|x|≥5⁰=1，则有值域为[1，+∞），则③错；
对于④，函数f（x）=x+2^x在（-1，0）递增，且f（-1）•f（0）=（-1+

1

2

）×（0+2⁰）＜0，
由零点存在定理可得，f（x）在（-1，0）有且只有一个零点．则④对．
则正确的个数为3．
故选：C．

点评：本题考查函数的定义域的求法、函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查函数的值域和函数的零点的判断，考查运算能力，属于基础题和易错题．