Question

有2003个向量构成一序列

a

1，

a

₂，

a

₃，…，

a

₂₀₀₃，其中任意3个向量的和的模都与其余的2000个向量的和的模相等，试求这2003个向量的和向量

s

的模．

Answer 1

分析：设

x

_i=

a

_i+

a

_i+1+

a

_i+2，（i=1，2，3，…，2003且

a

_2003-i=

a

_i），则|x_i|=|

s

-

x

_i|，然后平方可得

s

²=2

x

i

s

，则2003

s

²=2

2003

i=1

 

x

i•

s

=6

s

²，可求出向量

s

的模．

解答：解：设

x

_i=

a

_i+

a

_i+1+

a

_i+2，（i=1，2，3，…，2003且

a

_2003-i=

a

_i），
则|x_i|=|

s

-

x

_i|，∴

x

1²=

s

²-2

x

_i

s

+

x

i²，∴

s

²=2

x

i

s

，（i=1，2，…，2003）．
即

s

²=2

x

1•

s

，

s

²=2

x

2

s

，…，

s

²=2

x

₂₀₀₃

s

．
∴2003

s

²=2

2003

i=1

 

x

i•

s

=6

s

²，∴1997

s

²=0，
∴|

s

|=0．

点评：本题主要考查了向量的模，解题的关键常常计算模的平方，属于基础题．