Question

17．已知对任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．若数列{a_n}满足${a_n}=f（{2^n}）（n∈{N^*}）$，且a₁=2，则数列{a_n}的前n项和${S_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

Answer 1

分析 可根据a_n=f（2ⁿ）再利用对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2ⁿ，y=2得到递推关系式a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后两边同除以2ⁿ⁺¹可构造出数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以 $\frac{{a}_{1}}{2}$=1为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了．

解答 解：由于a_n=f（2ⁿ）则a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2则f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1
∴数列{ $\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}$=1为首项公差为1的等差数列
∴${S_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

点评 此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，是函数与数列的综合题．解题的关键是分别赋予x=2ⁿ，y=2得到a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后构造出数列数列{ $\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以 $\frac{{a}_{1}}{2}$=1为首项公差为1的等差数列后就可求解．同时要对递推关系式a_n+1=pa_n+qⁿ通过两边同除以qⁿ⁺¹构造出{$\frac{{a}_{n}}{{q}^{n}}$}为等差数列进而求出a_n的通项公式．