Question

2．在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=5，b=7，cosC=$\frac{1}{7}$，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为-4．

Answer 1

分析 根据条件及余弦定理即可求出c²=64，进而得出c=8，再根据余弦定理可求出cosB=$\frac{1}{2}$，这样根据向量投影的计算公式即可求出$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

解答 解：如图，△ABC中，$a=5，b=7，cosC=\frac{1}{7}$；
∴由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=25+49-10=64；
∴c=8；
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为$|\overrightarrow{AB}|•cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}＞=|\overrightarrow{AB}|•（-cosB）$=$8×（-\frac{1}{2}）=-4$．
故答案为：-4．

点评 考查余弦定理，向量夹角的定义，三角函数的诱导公式，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式．