Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2（n+1）{a}_{n}}{n}$+n+1．
（I）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列．
（II）求数列{a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=$\frac{2（n+1）{a}_{n}}{n}$+n+1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$（\frac{{a}_{n}}{n}+1）$，即可证明．数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列，公比为2，首项为2．
（II）由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2ⁿ，可得a_n=n•2ⁿ-n．利用错位相减法、等比数列的求和公式及其等差数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1=$\frac{2（n+1）{a}_{n}}{n}$+n+1，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$2×\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$（\frac{{a}_{n}}{n}+1）$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列，公比为2，首项为2．
（II）解：由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2ⁿ，可得a_n=n•2ⁿ-n．
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为T_n．
则T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相减可得：-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
可得：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．