Question

已知函数f（x）=x²-x-1与g（x）=x³-x²-5x+m．
（1）?x₁∈[-2，2]，使得f（x₁）≤g（x₁）成立，求实数m的取值范围；
（2）?x₂，x₃∈[-2，2]，使得f（x₂）＞g（x₃）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得x³-2x²-4x≥-1-m在x∈[-2，2]成立．令h（x）=x³-2x²-4x，求出导数，求出极值和最大值，即可得到m的范围；
（2））?x₂，x₃∈[-2，2]，使得f（x₂）＞g（x₃）成立，即为在x∈[-2，2]，f（x）_max＞g（x）_min．：运用二次函数的值域求法和导数，求出极值和最值，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）?x₁∈[-2，2]，使得f（x₁）≤g（x₁）成立，即为
x²-x-1-（x³-x²-5x+m）≤0，即x³-2x²-4x≥-1-m在x∈[-2，2]成立．
令h（x）=x³-2x²-4x，h′（x）=3x²-4x-4，h′（x）=0可得x=2或x=-

2

3

，
由h（-2）=-8，h（2）=-8，h（-

2

3

）=

40

27

，即有h（x）的最大值为

40

27

．
则有-1-m≤

40

27

，
解得m≥-

67

27

．
（2）?x₂，x₃∈[-2，2]，使得f（x₂）＞g（x₃）成立，
即为在x∈[-2，2]，f（x）_max＞g（x）_min．
由函数f（x）=x²-x-1=（x-

1

2

）²-

5

4

，当x=

1

2

时，f（x）取得最小值-

5

4

，
当x=-2时，f（x）取得最大值5，
g（x）=x³-x²-5x+m，g′（x）=3x²-2x-5，g′（x）=0可得x=-1或

5

3

．
g（-2）=m-2，g（2）=m-6，g（-1）=m+3，g（

5

3

）=m-

175

27

．
则有g（x）的最小值为m-

175

27

．
即有5＞m-

175

27

，
解得m＜

310

27

．

点评：本题考查存在性问题转化为求函数的最值问题，主要考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．