设有穷数列{am}(m=1.2.3.4.-.n,n=2.3.4.-.)满足以下两个条件:①$\sum {i=1}^n{a i}=0$,②$\sum {i=1}^n{|{a i}|}=1$,称{am}为n阶“单位数列．(Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“单位数列 ,(Ⅱ)若某2k+1(k∈N*)阶“单位数列是等差数列.求该数列的通项公式,(Ⅲ)记n阶“单位数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．设有穷数列{a_m}（m=1，2，3，4，…，n；n=2，3，4，…，）满足以下两个条件：
①$\sum_{i=1}^n{a_i}=0$；②$\sum_{i=1}^n{|{a_i}|}=1$；称{a_m}为n阶“单位数列”．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“单位数列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）阶“单位数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“单位数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），
求证：（1）$|{S_k}|≤\frac{1}{2}$；（2）$|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．

分析（Ⅰ）结合已知新定义即可写出符合条件的数列；
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由题意可得，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，结合等差数列的求和公式可求a₁+a₂₀₁₃=0，从而可求得a₁₀₀₇=0，进而可得a₁₀₀₈=d，分d＞0及d＜0两种情况可求通项公式；
（Ⅲ）（1）判断k=n时，$|{S_k}|≤\frac{1}{2}$，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；
（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，即可证明$|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．

解答解：（Ⅰ）数列$-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$为三阶单位数列…1分
数列$-\frac{3}{8}，-\frac{1}{8}，\frac{1}{8}，\frac{3}{8}$为四阶单位数列，…..…..3分（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴$（2k+1）{a_1}+\frac{2k（2k+1）d}{2}=0$，
∴a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…4分
当d=0时，与单位数列的条件①②矛盾，…5分
当d＞0时，据单位数列的条件①②得：${a_{k+2}}+{a_{k+3}}+…+{a_{2k+1}}=\frac{1}{2}$，
∴$kd+\frac{k（k-1）}{2}d=\frac{1}{2}，即d=\frac{1}{k（k+1）}$
由a_k+1=0得${a_1}+k•\frac{1}{k（k+1）}=0，即{a_1}=-\frac{1}{k+1}$，
∴${a_n}=-\frac{1}{k+1}+（n-1）\frac{1}{k（k+1）}=\frac{n}{k（k+1）}-\frac{1}{k}（n∈{N^*}，n≤2k+1）$．…7分
当d＜0时，
同理可得$kd+\frac{k（k-1）}{2}d=-\frac{1}{2}，即d=-\frac{1}{k（k+1）}$，
由a_k+1=0，得${a_1}-k•\frac{1}{k（k+1）}=0，即{a_1}=\frac{1}{k+1}$，
∴${a_n}=\frac{1}{k+1}-（n-1）\frac{1}{k（k+1）}=-\frac{n}{k（k+1）}+\frac{1}{k}（n∈{N^*}，n≤2n+1）$．…8分
（Ⅲ）证明：（1）当k=n时，显然$|{S_n}|=0≤\frac{1}{2}$成立；…9分
当k＜n时，据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+|a_k+2|+…+|a_n|=1，
∴$|{S_k}|≤\frac{1}{2}（k=1，2，3，…，n）$．…11分
$（2）|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|=|{\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}+\frac{a_n}{n}}|$，
=$|{{S_1}+\frac{{{S_2}-{S_1}}}{2}+\frac{{{S_3}-{S_2}}}{3}+\frac{{{S_4}-{S_3}}}{4}+…+\frac{{{S_{n-1}}-{S_{n-2}}}}{n-1}+\frac{{{S_n}-{S_{n-1}}}}{n}}|$，
=$|{\frac{S_1}{2}+\frac{S_2}{2×3}+\frac{S_3}{3×4}+\frac{S_4}{4×5}+…+\frac{{{S_{n-1}}}}{（n-1）n}+\frac{S_n}{n}}|$，
$≤|{\frac{S_1}{2}}|+|{\frac{S_2}{2×3}}|+|{\frac{S_3}{3×4}}|+|{\frac{S_4}{4×5}}|+…+|{\frac{{{S_{n-1}}}}{（n-1）n}}|$，
$≤\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{（n-1）n}}）$，
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$，
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．…13分．