Question

11．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数先求f′（2），即切线的斜率k=f′（2），代入点斜式方程，即可求出对应的切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-3，f′（2）=3×2²-3=9，
即切线的斜率k=f′（2）=9，又f（2）=2，
运用点斜式方程得：
y-2=9（x-2），即：9x-y-16=0，
所以曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程是9x-y-16=0；
（Ⅱ）f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
当f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上时：
①-1＜m≤1时，f（x）在[-1，m]递减，
f（x）_min=f（m）=m³-3m，
②m＞1时，f（x）在[-1，1）递减，在[1，m）递增，
∴f（x）的最小值是f（1）=-2，
综上，-1＜m≤1，f（x）_min=f（m）=m³-3m，
m＞1时，f（x）_min=f（1）=-2．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．