题目内容

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF1F2的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为A，B，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N（不同于点A，B），探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于x轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由．

分析 （Ⅰ）由题意离心率结合隐含条件可得a，b，c的关系，再由$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，可得GF1⊥GF2，结合△GF1F2的面积为3及椭圆定义可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，写出直线l的方程，求得M，N的坐标，得到AM，NB的方程，联立求得交点坐标，可得交点在一条垂直于x轴的定直线上x=4上；当
当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-1），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到M，N的横坐标的和与积，得到AM，NB的方程，联立求得交点坐标，代入根与系数的关系可得直线AM与直线BN交点在直线x=4上．

解答 解：（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0），
由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
根据$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，得$|G{F}_{1}{|}^{2}+|G{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，
∵△GF1F2的面积为3，∴|GF1|•|GF2|=6，则16c2-12=4c2，
∴$c=1，a=2，b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（1）知，A（-2，0），B（2，0）．
①当直线l斜率不存在时，l：x=1与椭圆交于点$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$．
此时直线$AM：y=\frac{1}{2}（x+2），NB：y=\frac{3}{2}（x-2）$，
∴它们交于（4，3），它在垂直于x轴的直线x=4上．
②当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，
直线AM的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，即$y=\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}+2}（x+2）$，

直线BN的方程为$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}（x+2）$，即y=$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}+2}（x+2）$．
联立消去y得：$x=\frac{{2（2{x_1}{x_2}-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=\frac{{2[\frac{{8（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{24{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+4{x_2}]}}{{\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-4+2{x_2}}}=4$．
∴直线AM与直线BN交点在直线x=4上．
综上知，直线AM与直线BN交点一定在直线x=4上．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算求解能力和推理论证能力，是中档题．

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申请意向
年龄		摇号竞价（人数）合计
电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）
30岁以下
（含30岁）		5010050200
30至50岁
（含50岁）		50150300500
50岁以上10015050300
合计2004004001000
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